MECÂNICA ESTATÍSTICA QUÂNTICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [1.830]

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade $\Psi$ da onda de matéria associada a ele, pode-se considerar três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as três regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

][

n(\mathbf {r} +\mathbf {T} )=n(\mathbf {r} )

,] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

] [

n(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }\exp {(i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}

,] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

][

\exp {(i(\mathbf {k} -\mathbf {k'} )}\cdot \mathbf {r} )

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

][

\mathbf {F} =\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(i\Delta \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}

,] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

][

\mathbf {F} =\sum _{\mathbf {G} }\int dVn_{\mathbf {G} }\exp {(i(\mathbf {G} -\Delta \mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} )}

.] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

][

\mathbf {F} _{\mathbf {G} }=N\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}=NS_{\mathbf {G} }

,] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

] [

n(\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{s}n_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

] [

S_{\mathbf {G} }=\sum _{j=1}^{s}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}

=\sum _{j=1}^{s}\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} _{j})}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

]

f_{j}=\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

G

G_{\mu \nu }\

\Psi

{\mathcal {T}}

\psi

[

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

] [

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

.

\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle

O fator de forma é uma característica intrínseca de uma distribuição de carga e, é usada na análise espacial da difração, ou espalhamento elástico, de fótons em cristais. Tecnicamente, é o quadrado da transformada de Fourier da distribuição de carga do alvo de espalhamento.

Difração em cristais

Se a densidade eletrônica é uma função periódica através do cristal,

$n(\mathbf {r} +\mathbf {T} )=n(\mathbf {r} )$ ,

n pode ser analisada por Fourier:

$n(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }\exp {(i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}$ ,

onde G são os vetores da rede recíproca.

Os vetores da rede recíproca determinam no espaço as reflexões possíveis do referido cristal, e a amplitude da onda espalhada F é proporcional à integral volumétrica da concentração eletrônica local
n(r) vezes o fator de fase

$\exp {(i(\mathbf {k} -\mathbf {k'} )}\cdot \mathbf {r} )$

onde k e k´ são os vetores de onda incidente e difratada.

$\mathbf {F} =\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(i\Delta \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$ ,

ou, usando a expansão de Fourier de n(r),

$\mathbf {F} =\sum _{\mathbf {G} }\int dVn_{\mathbf {G} }\exp {(i(\mathbf {G} -\Delta \mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} )}$ .

Em algum Δk = G (condição de difração satisfeita), para um cristal de N células, a amplitude espalhada

$\mathbf {F} _{\mathbf {G} }=N\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}=NS_{\mathbf {G} }$ ,

aí a integral percorre uma célula.

S_G assim definido é o fator de estrutura. A integral é tomada sobre a célula com r = 0 sendo a origem desta. Escrevendo n(r) pela superposição das concentrações eletrônicas n_j associadas a cada átomo j, localizado em r_j,

$n(\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{s}n_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})$

sobre os s átomos da base, o fator de estrutura passa a ser escrito por

$S_{\mathbf {G} }=\sum _{j=1}^{s}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}$

$=\sum _{j=1}^{s}\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} _{j})}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}$

Assim define-se o fator de forma f_j da núvem eletrônica do j-ésimo átomo da célula em r_j,

$f_{j}=\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}$

com a integral tomada em todo o espaço para conter a núvem eletrônica plenamente.

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